3連単と2車単のオッズによる回収率
あるレースにおいて配当倍率が10倍から20倍を付けている目を全て同額づつ買う、という買い方を多数のレースで、例えば1年に行われる全レースでやったとするとトータルの回収率はどうなるだろうか。普通に考えたら0.75近辺になるが。100倍から110倍の目ならどうだろう。違った値になるのか。以下にこれを調べてみる。
集計
用意するデータは2006-2007年の2年間に行われて成立した全64783レースの結果と確定オッズである。ある賭け式である範囲の配当倍率の目を対象の全レースで1枚づつ買ったときの票数をvとする。そのとき当たった目の配当倍率の合計をHとすると、回収率はH/vとなる。これは同着と特払いの場合も考慮に入れている。配当倍率の範囲を変えて集計すると以下のようになる。
# 3連単 log(倍率範囲) 平均倍率 回収率 票数 -inf 1.05 8.62 0.823 33436 1.05 1.25 14.75 0.824 73125 1.25 1.45 23.22 0.759 164869 1.45 1.65 36.62 0.754 326802 1.65 1.85 57.78 0.760 565963 1.85 2.05 91.36 0.745 892632 2.05 2.25 144.57 0.743 1328986 2.25 2.45 228.49 0.764 1863663 2.45 2.65 361.51 0.749 2475490 2.65 2.85 571.94 0.738 3140788 2.85 3.05 904.43 0.693 3782959 3.05 3.25 1427.63 0.682 4196443 3.25 3.45 2252.42 0.647 4181293 3.45 3.65 3547.77 0.592 3608400 3.65 3.85 5577.30 0.621 2585599 3.85 4.05 8765.86 0.664 1500324 4.05 4.25 13778.60 0.694 686044 4.25 inf 25770.28 1.007 361578 # 2車単 log(倍率範囲) 平均倍率 回収率 票数 -inf 0.65 3.50 0.769 26042 0.65 0.85 5.81 0.788 58357 0.85 1.05 9.13 0.793 97196 1.05 1.25 14.55 0.774 170153 1.25 1.45 22.87 0.765 263189 1.45 1.65 36.14 0.742 365577 1.65 1.85 57.13 0.726 454734 1.85 2.05 90.35 0.695 537973 2.05 2.25 143.03 0.674 599139 2.25 2.45 225.61 0.647 618555 2.45 2.65 355.34 0.560 556196 2.65 2.85 558.90 0.518 417923 2.85 3.05 878.24 0.505 255660 3.05 3.25 1379.05 0.458 122511 3.25 inf 2865.08 0.510 75525
配当倍率はかなり広く分布するので普通に等間隔で範囲分けすると高配当の領域がスカスカになってしまう。よって対数を取ったものの範囲で分けている。例えば、
3.45 3.65 3547.77 0.592 3608400
とは、10^3.45=2818.4倍以上、10^3.65=4466.8倍未満の範囲の目を全て買うと3608400票になり、それらの目の配当倍率の平均は3547.77倍で回収率は0.592になることを表している。
上表の各範囲の平均配当倍率と回収率をプロットすると図1になる。
横軸は対数目盛を取っている。
配当倍率が大 -> 回収率が小
どちらの賭け式の曲線も右下がり、すなわち配当倍率が上がる程低い回収率になって行き、右端で回収率が跳ねるように上がっている。まず右端の回収率の上昇であるが、これは不安定な性質で重要な意味はないと思われる。この領域の高い配当倍率では的中率が極めて小さいためブレが大きい。少なくともその解釈は保留ということで良いだろう。
重要なのは、配当倍率が大きい程回収率が小さくなる性質だ*1。もし投票者が全員十分賢くて儲けるために合理的に投票したなら、買う車券の配当に関わらず回収率は0.75になるはずである。
このような性質が現れる原因としてまず考えられるのは、配当倍率が大きいすなわち的中確率があまりに小さくなるとそれを正しく評価できない人が多い、という仮説である。例えば、確率1/5と2/5ではその違いを実感を持って認識できるが、1/200と1/400ではどれくらい違うのか良く分からない。人間は小さな確率をより大きいと錯覚してしまう性質があるのかもしれない。
ただし、この説では図1において3連単と2車単の曲線に解離があることの説明がつかない。例えば、配当倍率が1000倍のとき2車単では回収率が0.5程度なのに3連単では20ポイントほど大きい0.7もの回収率がある。どちらの車券も同じくらいの的中率なのに大きな差がある。
次に考えられるのが、高い配当の車券は、その期待される回収率に関係なく、ただ配当が高いというだけで買いたくなるという心理である。要するにこれは、莫大な当せん金の前には低い回収率などほとんど考慮されない宝くじを買う心理と同じである。
この心理をもとに3連単と2車単の違いを考えてみる。3連単では高配当の目が数多くあるのに対し、2車単は比較的少ない。だから2車単では高配当を求める人がその数少ない高配当の目に集中して投票するので、過剰に買われる割合が3連単より大きくなってしまう。3連単に比較して2車単は高配当車券の供給が乏しいので割高になる度合が大きいというわけだ。
車券作戦上の考察
図1において回収率が小さくなるような配当倍率の車券は買わないという方針が有効だと思う。買わないとまでいかなくても、高配当車券は実質的に控除率が上がっていると認識することが必要だ。そういう不利をはねのけても利益を出せると確信できる場合以外は見送りが妥当だろう。
3連単なら、600倍くらいまでは回収率0.75以上を維持している。この範囲の車券を買ってる分には不利はない。2車単は0.75を切る倍率が低く図1ではちょっと分かりづらいので200倍までの配当の領域を細かく集計してみる。
# 3連単 (200倍まで) 倍率範囲 平均倍率 回収率 票数 0.00 10.00 7.76 0.838 23403 10.00 20.00 15.49 0.806 113744 20.00 30.00 25.16 0.755 167112 30.00 40.00 35.04 0.754 195767 40.00 50.00 44.98 0.761 210978 50.00 60.00 54.96 0.757 216589 60.00 70.00 64.96 0.761 219110 70.00 80.00 74.94 0.720 218478 80.00 90.00 84.93 0.750 216295 90.00 100.00 94.93 0.768 214421 100.00 110.00 104.94 0.747 212182 110.00 120.00 114.94 0.726 210459 120.00 130.00 124.94 0.761 208031 130.00 140.00 134.93 0.762 205092 140.00 150.00 144.93 0.708 203329 150.00 160.00 154.93 0.756 199755 160.00 170.00 164.94 0.747 197614 170.00 180.00 174.94 0.754 194059 180.00 190.00 184.94 0.766 192026 190.00 200.00 194.94 0.761 188905 # 2車単 (200倍まで) 倍率範囲 平均倍率 回収率 票数 0.00 10.00 6.60 0.783 151837 10.00 20.00 15.06 0.775 257874 20.00 30.00 24.88 0.760 248599 30.00 40.00 34.85 0.755 224700 40.00 50.00 44.84 0.713 200185 50.00 60.00 54.87 0.744 177786 60.00 70.00 64.87 0.714 161804 70.00 80.00 74.86 0.675 148203 80.00 90.00 84.88 0.713 135371 90.00 100.00 94.89 0.692 124984 100.00 110.00 104.90 0.702 116554 110.00 120.00 114.90 0.681 108061 120.00 130.00 124.89 0.662 101794 130.00 140.00 134.92 0.717 95565 140.00 150.00 144.89 0.690 90810 150.00 160.00 154.90 0.665 85548 160.00 170.00 164.90 0.691 81335 170.00 180.00 174.90 0.631 77196 180.00 190.00 184.89 0.638 73461 190.00 200.00 194.89 0.698 69245
図1と同様のプロットは、
この図の横軸は普通の線形目盛である。2車単で回収率0.75を維持できるのは約40倍以下である。
*1:「でたらめに車券を買ったときの回収率の期待値」でこの性質について触れている。